Área de un Círculo

Contenido flash alternativo

Para ver este flash necesitas tener activado javascript en tu navegador y actualizada la versión de reproductor flash.

Área de un Círculo

El foco principal de la lección de hoy es averiguar el área del espacio cubierto por un círculo. Un círculo como forma geométrica es una de las figuras geométricas más interesantes. Y, si bien es cierto que no tiene muchas propiedades como los cuadriláteros, sus una o dos propiedades juegan un rol importante para hacer exitosamente muchas de las manipulaciones que hacemos con ellos.

Un círculo es básicamente una forma simple que consiste en un número de puntos en un plano que están a una distancia uniforme o igual a un punto. Este set de puntos forma una elipse que es el círculo en sí mismo. El punto del cual estos puntos son equidistantes es de hecho el centro del círculo.

La distancia del centro al borde del círculo es llamado el radio del círculo. Una línea cuyos extremos se ubican en los límites del círculo y pasa a través del centro es llamada el diámetro. Ten en cuenta que el diámetro es dos veces el radio y, por lo tanto, el radio es la mitad de la distancia del diámetro.

La distancia alrededor del círculo a lo largo de su límite es llamada la circunferencia. Aunque esto puede que no sea importante para encontrar el área del círculo, este concepto particular será importante más adelante en este curso.

Para poder ver claramente los conceptos de los que estamos hablando, vamos a describirlos en un diagrama como el que se muestra a continuación:

 

 


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Entonces ¿cómo averiguamos el área encerrada por un círculo con estos conceptos en mente?

Para calcular el área de un círculo, multiplicamos pi, indicada por π (el radio de la circunferencia de un círculo por su diámetro) por el cuadrado del radio del círculo.

 

Es decir                                 Área = pi × radio × radio

                                          = πr2

Ten en cuenta que el valor de π =   o 3.142

Vamos  a ver ahora un ejemplo práctico de cómo hacer el cálculo:

 

Ejemplo 1

Averiguar el área encerrada por un círculo con un radio de 21cm.

 

Solución:

Podemos describir esto en un diagrama como se muestra a continuación:

 

 

Luego, usamos la fórmula para encontrar el área encerrada por el círculo.

                                Área = πr2

                                         =   × 21 × 21

                                         = 1386 cm2

Veamos ahora otro ejemplo que utiliza algunos de los conceptos que hemos aprendido.

 

Ejemplo 2           

Un círculo encierra un área de 308 cm2. Averiguar:

a)      El radio del círculo

b)      El diámetro del círculo

Solución:

a)      Averiguar el radio

Para averiguar el radio de este círculo, simplemente hacemos uso de la fórmula usada para calcular el área encerrada en un círculo. Todo lo que necesitamos hacer es convertir al radio el sujeto de la fórmula.

 

Calculemos ahora el diámetro del círculo

 

a)      El diámetro del círculo

Recuerda que la relación entre el diámetro y el radio. Había dicho antes que el diámetro es siempre dos veces la longitud de un radio. Entonces,

                Diámetro del círculo = 2 × 9.89

                                                           = 19.78 cm

Ahora ¡sigamos con el último ejemplo! En este ejemplo, requeriremos una mezcla de conceptos de cuadriláteros y círculos para poder responderlo.

 

Ejemplo 3           

La figura proporcionada representa un sistema de círculos y semicírculos y un cuadrado. El círculo exterior tiene un diámetro de 28cm mientras que los semicírculos interiores son iguales en tamaño tiene un diámetro de 21cm. Averiguar el área de la región sin sombrear en la figura.

 

                                                                                                                            

Solución

Antes de empezar a responder esta pregunta, es importante que analicemos la figura antes de proceder.

Tengamos en cuenta que el cuadrilátero que forma el límite de la figura es un cuadrado con lados iguales al diámetro del círculo exterior.

Otra cosa importante a tener en cuenta es que los radios de ambos semicírculos y el círculo son iguales al diámetro de sus diámetros respectivos.

Entonces, para averiguar el área de la región sin sombrear, averiguamos el área de la región afuera del círculo pero dentro del cuadrado y luego lo sumamos al área cubierta por ambos semicírculos.

Entonces, comencemos por encontrar el área de los semicírculos, la cual es esencialmente igual.

 

 

Ten en cuenta que hemos dividido los diámetros del semicírculo por 2 para encontrar sus radios con la solución.

Vamos a proceder a encontrar el área afuera del círculo pero limitada por el cuadrado. Para averiguar esta área, tenemos que encontrar el área del círculo y lo restamos del área cubierta por el cuadrado.

Vamos a comenzar con el área del círculo:

Ahora, vamos a averiguar el área cubierta por el cuadrado.

 

Área de un cuadrado = lado × lado

                                 = 28 × 28

                                = 784 cm2

 

Lo siguiente ahora es averiguar el área de la región que se encuentra entre los límites del círculo y del cuadrado, esto puede ser hecho como se muestra.

Área de la región = área del cuadrado – área del cuadrado

                                = 784cm2 – 616cm2

                                = 168cm2

Ahora que hemos terminado con todos los cálculos, simplemente tenemos que sumar el área de los semicírculos al área de la región delimitada por el cuadrado y el círculo y así habremos contestado este problema.

Es decir:               Área de la región sin sombrear = 168cm2 + 346.5 cm2

                                                                                                         = 514.5 cm2

Entonces, el área de la región sin sombrear es 514.5 cm2 como hemos mostrado en la resolución que recién hemos desarrollado.