Prueba del Teorema de Pitágoras

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Prueba del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es uno de los pocos teoremas que tiene tantas pruebas que es difícil agotarlas. Esto puede ser atribuido a la cantidad de tiempo que el teorema ha estado en uso tanto en ciencia como en matemática, obviamente con muchas transformaciones en el proceso. En esta lección, vamos a estudiar dos o tres pruebas que creo necesarias en este punto del curso.

La primera prueba conllevará una prueba con el uso triángulos similares mientras que la segunda prueba que estudiaremos cubrirá la prueba usando pruebas algebraicas. Estas son básicamente las pruebas más fáciles para entender la prueba basadas en el alcance del conocimiento que ya tienes.

Entonces vamos a proceder ahora mismo a la primera prueba en triángulos similares.

 

1.       Prueba por Triángulos Similares

Antes de entrar en detalles acerca de la prueba del Teorema de Pitágoras con el uso de triángulos similares tenemos que, primero que nada, recordar lo que son los triángulos similares. En geometría euclidiana, los triángulos similares son entendidos como triángulos que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

En términos más simples, los triángulos similares son derivados uno del otro en donde un triángulo puede ya sea ser una ampliación o una reducción proporcional de cada uno. Entonces, el único elemento distintivo entre los triángulos similares es su tamaño respectivo, pero otras propiedades como los ángulos interiores y exteriores son de hecho los mismos.

La prueba de los triángulos similares está basada en la proporcionalidad de dos lados de triángulos singulares. Ten en cuenta que cualquiera de los dos lados correspondientes de los triángulos similares tienen el mismo radio.

Vamos a considerar un triángulo rectángulo ABC con el ángulo recto ubicado en el punto C.

 Si dibujamos una perpendicular a la línea AB a través de C de manera tal que se forme la altura y se encuentre en la línea AB en el punto H; entonces se formarán dos triángulos similares.

 

En la figura, d + e es la hipotenusa del triángulo mientras que el nuevo triángulo ACH es similar al triángulo ABC. Esto es porque comparten un punto común, A, y ambos tienen un ángulo recto. Esto definitivamente significa que los terceros ángulos de ambos triángulos son también iguales.

Ángulo ACH = Ángulo CBA = θ

Siguiendo este razonamiento, esto también podría implicar que el triángulo CBH es similar al triángulo ABC. Habiendo dicho que los lados correspondientes de los triángulos similares tienen el mismo radio, esto implica que:

 

 Reescribiendo las ecuaciones tendríamos:

a2 = c × e

y       b2 = c × d

Si averiguaros la suma de estas dos identidades:

                a2 + b2 = c × e + c × d

                             = c (e + d)

Pero recuerda que en el diagrama e + d = c

Entonces,

                   a2 + b2 = c × c

                  a2 + b2 = c2

Este es el Teorema de Pitágoras. Entonces, hemos probado el teorema por medio del uso de triángulos similares.

Ahora procederemos a estudiar cómo probar el Teorema de Pitágoras al usar conceptos algebraicos.

  1. Prueba algebraica del Teorema de Pitágoras

La prueba algebraica del Teorema de Pitágoras usa conceptos algebraicos para establecer la relación que existe entre los lados diferentes de un triángulo rectángulo.

Esta prueba está basada en un cuadrado, el cual es usado como recipiente de cuatro triángulos con lados a, b y c. Ten en cuenta que estos triángulos dentro de un cuadrado son triángulos similares.

 


 
El triángulo es rotado tres veces: -90⁰, 180⁰ y 270⁰ y las tres derivadas del triángulo insertos en el cuadrado con el lado c.

 

 

El área del cuadrado grande es la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos y el cuadrado pequeño dentro del cuadrado grande.

 

Entonces,

Este es el Teorema de Pitágoras. Entonces, hemos exitosamente probado el Teorema de Pitágoras por medio del uso de métodos algebraicos.

Hay muchas otras pruebas convencionales y puedes simplemente chequearlas si quieres expandir tu conocimiento acerca de esto, aunque la mayoría de las pruebas necesitarían conocimiento de geometría avanzada, álgebra y cálculo.