Polígonos Semejantes


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Polígonos Semejantes

En esta lección comenzamos con un tema nuevo acerca de la semejanza. Seguramente, has oído hablar a alguien acerca de triángulos semejantes, rectángulos semejantes y muchos otros polígonos semejantes. Esto es exactamente lo que vamos a estudiar en este tema. Vamos a comenzar por estudiar los radios, los cuales son esencialmente el núcleo de la semejanza y ampliación.

La semejanza es usada mucho para resolver problemas de figuras geométricas que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. La semejanza es la cualidad de ser similar. Entonces, cuando dos o más figuras geométricas son semejantes, esto implica que tienen las mismas propiedades en términos de sus lados y ángulos internos.

En geometría analítica, se dice que dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma pero no del mismo tamaño. Usualmente, una forma geométrica es una escala uniforme de otra forma involucrando ya sea una ampliación o reducción de la forma geométrica.

Un rasgo importante de los polígonos semejantes es que los lados correspondientes están en alguna proporción uniforme mientras que los ángulos interiores correspondientes son iguales en medida. Estudiaremos cómo determinar los lados correspondientes y los lados correspondientes de polígonos semejantes luego en este tema.

Algunos ejemplos de formas geométricas semejantes incluyen:

·         Todos los cuadrados son semejantes porque los lados de todo cuadrado son iguales.

·         Todos los cubos son también semejantes por la misma razón.

·         Los sectores de un círculo con ángulos centrales iguales son iguales.

·         Todos los triángulos equiláteros son también semejantes.

 

Dado dos triángulos semejantes ABC y A’B’C’:

 

 

Ya que los dos triángulos son semejantes, esto entonces implica que:

El ratio de los lados correspondientes de los polígonos semejantes es llamado el ratio de semejanza. Este ratio determina el ratio en el cual la segunda figura ha sido ya sea ampliada o reducida.

Cuando dos polígonos son semejantes, usamos el signo ~ o ||| para expresar semejanza. Entonces,

Construcción de Triángulos Semejantes

De todos los polígonos semejantes, los triángulos semejantes son usualmente un punto común en geometría analítica y euclidiana. En este tema, vamos a considerar cómo construir triángulos semejantes porque formarán la base de nuestro estudio en los siguientes subtemas. El ejemplo que recién estudiamos es un buen ejemplo de triángulos semejantes pero son sólo una representación y no dibujos hechos a escala. 

Paso 1

Construir un triángulo XYZ con sus lados midiendo 5cm, 6cm y 7cm respectivamente.

 

Paso 2

Dibujar una línea desde el punto X hasta un punto A de manera tal que forme un ángulo agudo YXA. Dividir la línea XA en siete segmentos de manera tal que el intervalo entre cada uno de ellos sea 1cm.

 

Paso 3

Unir x5 al punto Y

Ahora, construir una línea paralela a la línea a la línea X5Y, de manera tal que se encuentre la línea XY exteriormente en B.

Medir el ángulo XYZ y dibujar una línea desde el punto B que delimita un ángulo igual al ángulo XYZ de B y encuentra la línea XZ externamente en C.

 

 

Hemos construido un nuevo triángulo XBC.

Claramente:

                                Ángulo XYZ = Ángulo XBC

                                Ángulo YXZ = Ángulo CXB

                                Entonces, Ángulo XZY = Ángulo XCB

 

Esto implica que el triángulo XBC recientemente construido es semejante al triángulo XYZ.

Todos los ángulos correspondientes de los dos triángulos son iguales, lo cual hace que ambos triángulos sean semejantes.

El triángulo XYZ ha sido ampliado por medio de un factor de escala igual al ratio de los lados correspondientes de los dos triángulos para formar el triángulo XBC.

 

Ejercicio

Al llegar al final, te dejo un ejercicio. Construir dos pentágonos regulares semejantes en un gráfico. Recuerda usar el concepto de líneas paralelas y ángulos interiores iguales para hacer tu trabajo mucho más fácil.