Factores de Escala Lineales, de Área y de Volumen

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Factores de Escala Lineales, de Área y de Volumen

En esta lección, vamos a estudiar factores de escala y escalas en general. En geometría, una escala es definida como un proceso de transformación linear que ya sea amplía o reduce objetos por un factor de escala que es el mismo en todas las direcciones.

Los factores de escala lineales, de área y de volumen forman las bases de nuestro aprendizaje en esta lección. El factor de escala lineal es el ratio entre los dos lados correspondientes de dos triángulos semejantes mientras que los factores de escala de área y de volumen determinan el ratio del área y de volumen de dos triángulos respectivamente.

En este subtema, vamos a explorar la relación que existe entre el factor de escala lineal y el factor de escala de área y también la relación que existe entre el factor de escala lineal y el factor de escala de volumen.

Ten en cuenta que el factor de escala que hemos estado estudiando en este tema es esencialmente el mismo que el factor de escala lineal. El factor de escala lineal es básicamente una relación de dos segmentos de línea. Por ejemplo, podríamos decir que un segmento de línea AB es dos veces la longitud de otro segmento de línea CD. En este caso, el factor de escala lineal es 2.

Mientras que el factor de escala lineal es el ratio de dos segmentos de línea correspondientes, el factor de escala de área, por otro lado, es el ratio entre las áreas de dos polígonos semejantes.  El factor de escala de área se aplica a cualquier forma siempre y cuando las formas sean semejantes y tienen al menos tres lados. Esto es por el simple hecho que un polígono debe ser una forma geométrica que tiene al menos tres lados.

Un factor de escala de área es siempre un cuadrado de un factor de escala lineal. Por ejemplo, dado que el factor de escala lineal de los lados correspondientes de un polígono es 1,5m entonces podemos averiguar el factor de escala de área al usar la fórmula que se muestra a continuación:

                Factor de escala de área (FEA) = (Factor de Escala Lineal (FEL))2

(FEA) = (FEL)2

Entonces, el factor de escala de área de dos polígonos semejantes que tienen un factor de escala lineal de 1,5 es dado por:

FEA = 1,52

                                       = 2,25

Si se te da el área de una figura y además se te proporciona una segunda figura, la cual es semejante a la primera, puedes averiguar el área de la segunda figura si sabes el factor de escala de área.

El factor de escala de volumen, por otro lado, es el cubo del factor de escala lineal. Usando el ejemplo de arriba, en donde el factor de escala lineal es igual a 1,5, entonces el factor de escala de volumen será dado por:

                Factor de escala de volumen = (Factor de escala lineal (FEL)3

Consideremos dos prismas triangulares semejantes como se muestra a continuación. Vamos a usar estas dos figuras para mostrar la relación entre FEL, FEA y FEV y sus correspondientes longitudes, área y volumen.

 

Ya que las dos figuras son semejantes, podemos averiguar el factor de escala lineal al considerar los lados correspondientes de las dos figuras.

De este trabajo, el factor de escala lineal = 1,5

Factor de escala de área = 1,52

                                                = 2,25

Factor de escala de volumen = 1,53

                                                         = 3,375

 

Vamos a averiguar ahora el área transversal del prisma más pequeño y podremos averiguar el volumen del prisma más grande.

Área transversal = ½ bh

Pero no sabemos la altura. Usamos el Teorema de Pitágoras para averiguarlo al dibujar una línea perpendicular de B a AC. El lado AC será entonces la base del triángulo.

 

Entonces, A = = ½ × 9 × 10,04

              = 45,18 unidades cuadradas

El volumen del prisma más pequeño es dado por:

                = área transversal × altura

                = 45,18 × 17

                = 768,06 unidades cúbicas

 

De la misma manera:

El área transversal del prisma más grande es dada por:

                = área transversal del prisma más pequeño × FEA

                = 45,18 × 2,25

                = 101,655

                = 101,7 unidades cuadradas

 

El volumen del prisma más grande es dado por:

                = volumen del prisma más pequeño × 3,375

                = 101,655 × 3,375

                = 343,08 unidades cúbicas

 

Puedes usar estos conceptos de factores de escala lineales, de área y de volumen para resolver dos figuras geométricas cualquiera. Los conceptos de LLL, LAL y AAA pueden también ser útiles cada vez que no se te proporcione todos los lados de un polígono, el cual sea semejante a otro polígono.